Эволюция концепции доказательства
аксиомы дадут коллективное определение употребляемым в их формулировках неопределяемым понятиям;
системы объектов, удовлетворяющие одной и той же системе аксиом (интерпретации), изоморфны, так что теорема, доказанная в одной интерпретации, будет автоматически справедлива для другой.
"С помощью этого нового обоснования математики, которое справедливо можно именовать теорией доказательства, я преследую важную цель: именно, я хотел бы окончательно разделаться с вопросами обоснования математики как таковыми, превратив каждое математическое высказывание в поддающуюся конкретному показу и строго выводимую формулу и тем самым приведя образование понятий и выводы, которыми пользуется математика, к такому изложению, при котором они были бы неопровержимы и все же давали бы картину всей науки".
Давид Гильберт
Гильберт доказал, что евклидова геометрия непротиворечива, если непротиворечива система вещественных чисел. Осталось совсем немного: доказать непротиворечивость арифметики.
Теорема Геделя
Курт Гедель (1906 - 1978) в 1931 году в работе "О формально неразрешимых проблемах "Principia Mathematica" и родственных систем" доказал теорему о том, что любая непротиворечивая аксиоматическая система, включающая аксиомы арифметики натуральных чисел, обладает свойством неполноты: для нее можно указать конкретное утверждение А, для которого в этой системе нельзя доказать ни А, ни его отрицание. Это утверждение находится за пределами системы! И для неполноты любой математической теории достаточно включения в нее простейшего объекта математики - натурального числа.
Гедель доказал полноту исчисления предикатов первой ступени.
В другой теореме Гедель доказывает, что в качестве А можно взять утверждение о непротиворечивости арифметики. Непротиворечивость теории не может быть доказана средствами самой теории.
Теоремы инженера Геделя развеяли мечты математика Гильберта.
"Роль пресловутых "оснований" сравнима с той функцией, которую в физических теориях выполняют поясняющие что-либо гипотезы… Так называемые логические или теоретико-множественные основания теории чисел или любой другой вполне сформировавшейся математической теории по существу объясняют, а не обосновывают их, так же, как в физике, где истинное предназначение аксиом состоит в объяснении явлений, описываемых физическими теоремами, а не в обосновании этих теорем."
Эпистемологические следствия
Одна непротиворечивая теория не может полностью описать реальность; всегда остаются факты или аспекты, которые требуют обращения к другой теории, возможно, несовместимой с первой. Концепция "истинность совпадает с доказательностью" потерпела крах.
"Автоматизация" знания невозможна. Нельзя обойтись без человеческого разума и интуиции, обречена на неудачу. Логика неотделима от человека.
Непротиворечивость математики не может быть доказана.
Математика стала экспериментальной наукой.
Конструктивизм
Пауки, обитавшие в замке, затянули подвал паутиной. Когда однажды ветер
сорвал ее, они бросились ее восстанавливать: ведь замок держится на паутине!
В рамках метаматематики имеются различные течения. Одним из них является конструктивная математика, работающая с конструктивными объектами и конструктивными процессами и отвергающая в этих построениях закон исключенного третьего из-за его неконструктивности.
Конструктивный анализ существенно отличается от классического анализа, составляющего содержание курса высшей математики. Многие теоремы классического анализа не входят в конструктивный анализ. Особое внимание конструктивизм уделяет изучению алгоритмически неразрешимых проблем.
Нашествие теорий
Теорема Геделя предоставила возможность построения бесконечного дерева теорий за счет пополнения списков аксиом невыводимыми истинными утверждениями.
Немного больше о технологиях >>>
Применение световода на уроках физики
Школьник понимает физический опыт только
тогда хорошо, когда он его делает сам. Но еще лучше он понимает его, если сам
делает прибор для эксперимента.
П.Л.Капица
Физический эксперимент... Постановка его на
уроке позволяет учителю не только подробно рассмотреть физические я ...
Методология науки
«Эксперимент не может подтвердить теорию,он
может лишь опровергнуть ее».
А.Эйнштейн
Во все времена задача науки была неизменна -
изучение мироздания с целью выявления существующих закономерностей, что само по
себе уже предполагает существование таких закономерностей и поз ...
