Эволюция концепции доказательства
аксиомы дадут коллективное определение употребляемым в их формулировках неопределяемым понятиям;
системы объектов, удовлетворяющие одной и той же системе аксиом (интерпретации), изоморфны, так что теорема, доказанная в одной интерпретации, будет автоматически справедлива для другой.
"С помощью этого нового обоснования математики, которое справедливо можно именовать теорией доказательства, я преследую важную цель: именно, я хотел бы окончательно разделаться с вопросами обоснования математики как таковыми, превратив каждое математическое высказывание в поддающуюся конкретному показу и строго выводимую формулу и тем самым приведя образование понятий и выводы, которыми пользуется математика, к такому изложению, при котором они были бы неопровержимы и все же давали бы картину всей науки".
Давид Гильберт
Гильберт доказал, что евклидова геометрия непротиворечива, если непротиворечива система вещественных чисел. Осталось совсем немного: доказать непротиворечивость арифметики.
Теорема Геделя
Курт Гедель (1906 - 1978) в 1931 году в работе "О формально неразрешимых проблемах "Principia Mathematica" и родственных систем" доказал теорему о том, что любая непротиворечивая аксиоматическая система, включающая аксиомы арифметики натуральных чисел, обладает свойством неполноты: для нее можно указать конкретное утверждение А, для которого в этой системе нельзя доказать ни А, ни его отрицание. Это утверждение находится за пределами системы! И для неполноты любой математической теории достаточно включения в нее простейшего объекта математики - натурального числа.
Гедель доказал полноту исчисления предикатов первой ступени.
В другой теореме Гедель доказывает, что в качестве А можно взять утверждение о непротиворечивости арифметики. Непротиворечивость теории не может быть доказана средствами самой теории.
Теоремы инженера Геделя развеяли мечты математика Гильберта.
"Роль пресловутых "оснований" сравнима с той функцией, которую в физических теориях выполняют поясняющие что-либо гипотезы… Так называемые логические или теоретико-множественные основания теории чисел или любой другой вполне сформировавшейся математической теории по существу объясняют, а не обосновывают их, так же, как в физике, где истинное предназначение аксиом состоит в объяснении явлений, описываемых физическими теоремами, а не в обосновании этих теорем."
Эпистемологические следствия
Одна непротиворечивая теория не может полностью описать реальность; всегда остаются факты или аспекты, которые требуют обращения к другой теории, возможно, несовместимой с первой. Концепция "истинность совпадает с доказательностью" потерпела крах.
"Автоматизация" знания невозможна. Нельзя обойтись без человеческого разума и интуиции, обречена на неудачу. Логика неотделима от человека.
Непротиворечивость математики не может быть доказана.
Математика стала экспериментальной наукой.
Конструктивизм
Пауки, обитавшие в замке, затянули подвал паутиной. Когда однажды ветер
сорвал ее, они бросились ее восстанавливать: ведь замок держится на паутине!
В рамках метаматематики имеются различные течения. Одним из них является конструктивная математика, работающая с конструктивными объектами и конструктивными процессами и отвергающая в этих построениях закон исключенного третьего из-за его неконструктивности.
Конструктивный анализ существенно отличается от классического анализа, составляющего содержание курса высшей математики. Многие теоремы классического анализа не входят в конструктивный анализ. Особое внимание конструктивизм уделяет изучению алгоритмически неразрешимых проблем.
Нашествие теорий
Теорема Геделя предоставила возможность построения бесконечного дерева теорий за счет пополнения списков аксиом невыводимыми истинными утверждениями.
Немного больше о технологиях >>>
Синергетическая парадигма современной экономической теории
Прошедший ХХ
век оставил в наследство человечеству множество нерешенных проблем. Сегодня на
планете каждый шестой человек голодает, каждый пятый не получает должного
медицинского обслуживания, каждый четвертый не имеет достаточного образования,
каждый третий пребывает в опасных ...
Опыты Араго и теория Френеля
Современная
наука не отрицает истинности Френелевской формулы частичного увлечения эфира
движущимися телами (средами) – «...и сейчас одного из наиболее важных явлений в
движущихся телах» [1]. В современной теории относительности формула Френеля
рассматривается как частный случа ...
