Эволюция концепции доказательства
Греки полагали, что утверждения математики абсолютно точны и достоверны, тогда как данные опытного знания приблизительны, обманчивы и недостоверны: даже равенство двух отрезков может быть доказано не измерением, а рассуждением. "Приближенными вычислениями стыдно заниматься свободному человеку, они - удел раба".
"При помощи математики очищается и получает новую жизненную силу орган души, в то время как другие занятия уничтожают его и лишают способности видеть, тогда как он значительно более ценен, чем тысяча глаз, ибо только им одним может быть обнаружена истина". Платон
Греки использовали в доказательствах только геометрически наглядные средства, а не буквенные символы. Поразительно, что в рамках столь трудной геометрической алгебры им удалось получить так много результатов. В Новое время Ньютон следовал греческой традиции, а Лейбниц - нет.
Математический язык
Величины в геометрии отличали от чисел в арифметике: величины именовали длинами, квадратами и кубами и использовали как именованные. Алгебраическая буквенная символика возникла в арифметической алгебре из стандартных (и сокращенных) словесных обозначений. Языки геометрии и арифметической алгебры существовали параллельно.
Декарт (1596 - 1650) построил над языками геометрической и арифметической алгебры новый язык - алгебраический. Синтаксис нового языка похож на синтаксис языка арифметической алгебры, семантика - на семантику языка геометрической алгебры.
Декарт превратил процесс в объект: отношение величин (процесс) стало рациональным или иррациональным числом (объектом). Тем самым Декарт совершил квантовый эволюционный переход к абстрактному понятию числа, переход, оказавшийся не под силу грекам. Введенное Декартом понятие числа было языковым конструктом, а не пространственным образом. Декарт принципиально изменил содержание доказательства: отныне геометрическим образам осталась роль иллюстраций, они перестали быть средствами доказательства.
Буквенная символика открыла вход в математику поверх барьеров геометрической алгебры и словесных обозначений. Книгопечатание окончательно сделало математику доступной всей массе образованных людей. Стали обычным делом публичные состязания в доказательствах.
Через полвека благодаря Декарту Лейбниц и Ньютон совершили следующий квантовый переход.
Математическое доказательство в Новое время
Ньютон вывел законы Кеплера из закона всемирного тяготения и трех законов движения. Математическое доказательство привело к открытию закона природы. Ньютон пользовался геометрическим языком, и обозначения его "Начал" не повлияли на математическую технологию. Предложенные Лейбницем эффективные обозначения открыли поле деятельности, на котором за триста лет было доказано невероятное количество теорем в созданных на основе новых понятий производной и интеграла многочисленных новых отраслях математики.
Ни отцы-основатели, ни их последователи не могли обосновать свои результаты, оправдывали их только приносимой ими удачей. Вакханалия использования нечетких понятий и методов приводила к неверным результатам, спорам и сомнениям. Выдающимся источником неприятностей была теория пределов с ее свободным обращением с бесконечностью. Блестяще выразился о новой математике Вольтер: "Искусство считать и точно измерять то, существование чего непостижимо для разума". Все попытки выйти из положения, даже предпринятые Эйлером и Лагранжем, потерпели полную неудачу. Внутренняя дисциплина в математике к середине XIX века упала настолько, что Кэли, приведя формулировку теоремы для квадратных матриц и проверив ее для матриц 2х2, не счел "необходимым обременять себя формальным доказательством теоремы в общем случае матрицы любого порядка" и призвал просто поверить ему.
Трудности коренились в том, что новые понятия находились на более высоком уровне абстракции. Грекам было легче, их понятия были ближе к (презираемому!) опыту, а те понятия, которые доставили столько волнений в Новое время, хитроумные греки обходили. Новые понятия были уже не обобщением опыта, а созданием разума, лишенным привычной опоры в наглядности. Язык формул обладал не только притягательной, но и производительной силой.
Немного больше о технологиях >>>
Эволюционный миф и современная наука
– "Дарвин был неправ... Теория
эволюции, возможно, самая страшная ошибка, совершенная в науке".
Эту мысль не так давно высказал член нью-йоркской
Академии наук И.Л.Коэн 1. В своем мнении Коэн далеко не одинок: Джон Вольфган
Смит – профессор орегонского Университета ...
Явления, обусловленные движением Земли относительно мирового эфира
Эйнштейн
предполагал, что все попытки обнаружить движение Земли относительно мирового
эфира оказались безуспешными. Безуспешными оказались попытки обнаружить
«эфирный ветер», возникающий при движении Земли относительно мирового эфира
вследствие полного увлечения эфира атмосферо ...
