Эволюция концепции доказательства
Героическая эпоха! Не до строгости, когда друзья и недруги рвутся вперед.
Только к концу XIX века в математическом анализе и в алгебре был наведен формальный логический порядок, иными словами, положение было исправлено настолько, что стала возможной дальнейшая критика.
Аксиоматический метод
Формализация математики привела к уточнению определений и аксиом, к логической инвентаризации орудий математического мастерства. Одной из задач в наведении порядка была задача минимизации списка аксиом, исключения из него тех утверждений, которые могли быть выведены из остальных как теоремы.
Попытка этим путем исключить из аксиом геометрии Евклида аксиому о параллельных не удалась. Тогда попытались доказать, что замена этой аксиомы ее отрицанием приведет к тому, что в такой "неевклидовой" геометрии будут получены противоречия, что и "докажет" аксиому Евклида. Противоречия получить не удалось, более того, семейство неевклидовых геометрий стало пополняться. Неевклидовы геометрии противоречили только обыденной интуиции и привычным наглядным представлениям, но были логически безупречны. Попутно выяснилось, наконец, что аксиома о параллельных не зависит от остальных аксиом Евклида.
Гильберт предложил ставший общепринятым вариант аксиоматического построения евклидовой, а заодно и всех остальных геометрий. Этот успех еще раз напомнил о проблеме истинности теории в целом: если существуют разные геометрии и они непротиворечивы, то какая же из них "истинна"? Какая из них имеет место в реальной действительности и как это доказать? И что значит "истинная геометрия"? "Что есть истина?"
Уверенность в том, что математика содержит только абсолютные истины, абсолютно доказанные на основе абсолютных аксиом, была подорвана навсегда. В обстановке замешательства, вызванного появлением неевклидовых геометрий, концепции доказательства удалось остаться вне подозрений.
Новые проблемы
Теория бесконечных множеств к началу ХХ века стала источником беспокойства: в ней обнаружились трудности и противоречия. На этот раз под ударом оказались не изъяны в определениях и доказательствах, а логика доказательств. Как следует понимать утверждение о существовании какого-либо математического объекта? В конструктивных доказательствах существования приводится процесс построения объекта, но есть утверждения "должен существовать", "ложно, что не существует", - как с ними быть?
Можно ли применять логику доказательств, выработанную на конечных объектах, к бесконечным?
Относительно аксиоматической теории остались нерешенными вопросы:
можно ли доказать некоторое утверждение А и доказать его отрицание?
и как доказать, что этого не случится, то есть как доказать, что теория непротиворечива?
всякое ли истинное утверждение можно вывести из аксиом?
и как доказать, что это всегда возможно, то есть что теория полна?
можно ли в рамках аксиоматической теории считать доказанное истинным?
В ходе исследований оснований математики в рамках математической логики возник раздел, изучающий формализованные математические теории. Произошел еще один квантовый переход: появилась метаматематика. Этот термин синонимичен термину "теория доказательств". Логика и математика стали предметом изучения для метаматематики.
Линия Евклид - Лейбниц - Гильберт - Гедель
Современный формализованный (мета)математический язык оформлен в "Principia Mathematica" Расселом и Уайтхедом уже в начале XX века. Они уточнили понятие доказательства как вывода в некотором исчислении, однако предложенный подход к проблеме непротиворечивости не удовлетворил даже авторов.
Гильберт (1862-1943) выдвинул грандиозную программу аксиоматизации математики и физики и приступил к ее реализации. Гильберт полагал, что любое точно сформулированное утверждение можно доказать или опровергнуть средствами аксиоматической теории при условии, что теория непротиворечива. Иными словами, Гильберт сформулировал тезис полноты аксиоматической теории. Что касается непротиворечивости, то эту проблему тоже, казалось, можно будет решить. Линия Евклид - Лейбниц - Гильберт обещала триумфальный успех:
Немного больше о технологиях >>>
Колумбия ожидание мира
«Мы — колумбийцы — выжили в таких трудных
географических условиях — и горы, и болота. Мы не сломались, несмотря на
десятилетия непрекращающейся войны. Мы продолжаем работать и радоваться жизни.
Война — это как явление природы, как ураган, ему нужно сопротивляться!»
Не знаю, к ...
Привычный способ восприятия времени - причина войн на планете
Мы знаем, что
прошлое и будущее существует только в нашем образном мышлении. Настоящее
измерить нечем и поэтому невозможно. Стрелки часов двигаются в пространстве, а
показывают время – не парадокс ли это? Наше тело – это часть пространства.
Осознавание линейных размеров собстве ...
