Многообразие проявлений причинно-следственных связей в материальном мире обусловило существование нескольких моделей причинно-следственных отношений. Исторически сложилось так, что любая модель этих отношений может быть сведена к одному из двух основных типов моделей или их сочетанию.

Электростатическое взаимодействие точечных зарядов

∫V(1/2)φρdV = (1/2)[φ1(1)Q1 + φ2(2)Q2 + φ2(1)Q1 + φ1(2)Q2]. (10)

Легко показать (используя (2) и правую часть (10), и положив R1 = R2 = R0), что сумма третьего и четвёртого членов в (10) принимает форму закона Кулона, и в точности равна U.

(1/2)[φ2(1)Q1 + φ1(2)Q2] = (1/8πε0R0)(Q2Q1 + Q1Q2) = Q1Q2/4πε0R0 = U. (11)

Рассмотрим далее интеграл в левой части выражения (6), представляющий альтернативную по отношению к (10) форму для вычисления энергии системы зарядов. Обращаясь к формуле (3), где расписано E2, видим, что W(X, Y) состоит из трёх частей:

W1 = (ε0/2)E12; W2 = (ε0/2)E22; (12)

W3 = (ε0/2)∙2E1E2∙cosα. (13)

Члены W1 и W2 описывают неизменные при любых обстоятельствах плотности энергии собственных полей зарядов. Объёмные интегралы от них можно сравнить с членами φ1(1)Q1/2 и φ2(2)Q2/2 в формуле (10),

∫V W1dV = φ1(1)Q1/2, ∫V W2dV = φ2(2)Q2/2, (14)

и исключить из обоих выражений, (3) и (10). Эта операция позволяет также частично избавиться от проблем, связанных с характеристиками поля на небольших расстояниях от точечных зарядов, и с трудностями учёта собственных полей зарядов в теории [1, 5, 10]. Таким образом, взаимодействие зарядов определяется только членом W3, зависящим от силовых характеристик обоих зарядов одновремённо. Аналогом объёмного интеграла от W3 «на языке зарядов» является выражение (11). Сравнивая интеграл от W3 с интегралом (11),

∫V W3dV = (1/2)∫V [φ1(2)Q2δ(2) + φ2(1)Q1δ(1)]dV, (15)

можно ожидать, что вычисление интеграла в левой части (15), также приведёт к энергии U, но распределение объёмной плотности энергии в пространстве (формула (13)), вполне очевидно, не будет совпадать с представленным в правой части (15).

Рассмотрим подробнее распределение энергии W3 в пространстве. Косинус угла α, показанный на рис. 1, играет определённую роль: cosα < 0, если α > 900 (имеет место внутри окружности, вписанной между зарядами с центром в середине отрезка R0), и cosα > 0 во всём остальном пространстве. Поэтому окружность cosα = 0 (в трёхмерном пространстве – сферическая поверхность) является важной границей, она отделяет конструктивную интерференцию от деструктивной. Пространство внутри этой сферы будем называть центральной зоной взаимодействия.

Задача упрощается без ущерба содержанию, если положить

Q1 = Q2 = q; (R1/R0) = r1; (R2/R0) = r2; (X/R0) = x; (Y/R0) = y. (16)

В этом случае единицей измерения координаты становится расстояние между зарядами – отрезок R0.

Формула (15) с использованием (3) и (16) принимает вид:

∫VW3dV = (q2/32π2ε0R04)∫V[(r12 + r22 – 1)/r13r23]dV. (17)

Обозначим подынтегральную функцию в правой части (17) символом w3 (она представляет собой относительное распределение объёмной плотности энергии в пространстве):

w3 = (r12 + r22 – 1)/r13r23 = 2(x2 – x + y2)/{y4 + y2[x2 + (1 – x)2] + x2(1 – x)2}3/2. (18)

Форма распределения w3 в зависимости от x и y одинакова не только для равных, но и для разных по величине и знаку зарядов. Проведём с w3 ряд дальнейших вычислений. Константа, вынесенная за знак интеграла в формуле (17),

А = q2/32π2ε0R04, (19)

будет учтена в конце работы.

Подстановки (16) с образованием относительных распределений типа (18) применим также к W1 и W2 (формулы (12)); получим, соответственно, w1 и w2:

w1 = r1–4 = 1/(x2 + y2)2; w2 = r2–4 = 1/[(1 – x)2 + y2]2. (20)

Найдём соотношение

w = (w1 + w2 + w3)/(w1 + w2) = 1+ w3/(w1 + w2) = 1 + r1r2(r12 + r22 – 1)/(r14 + r24), (21)

которое представляет собой некоторую поверхность. Участок этой поверхности внутри и вблизи центральной зоны взаимодействия показан на рис. 2 в пределах изменения x от –1 до 1, и y от –2 до 2.

Рис. 2. Отношение w объёмной плотности энергии в системе двух одноимённых взаимодействующих зарядов к сумме энергий невзаимодействующих зарядов

Заряды расположены в точках с координатами (0, 0) и (1, 0). Если бы энергия w3 отсутствовала, то рассматриваемое отношение имело вид плоскости w = 1 (см. формулу (21)).

Как видно из рис. 2 и формулы (21), значение w равно нулю в центре отрезка R0 (x = 0,5; y = 0); w = 1 на окружности, вписанной между зарядами; w = 2, максимально достижимое значение при x, y → ∞. Взаимодействие зарядов существенно дополняет сумму их собственных энергий и положительными, и отрицательными вкладами; при отталкивании зарядов энергия поля как бы «уходит» из центральной зоны наружу. Однако,

Перейти на страницу: 1 2 3 4 5 6

Немного больше о технологиях >>>

Оптимизация структуры стохастического графа c переменной интенсивностью выполнения работ
Задача распределения ресурсов (нескладируемого типа) на cтохастических сетях (параллельные проекты) сформулирована как обусловленная переменной структурой графа. Предложенный метод решения обеспечивает получение экстремального графа для случая, когда каждая работа многопроектно ...

Антенна излучающая
К одной из важнейшей научно-технической проблеме современности можно отнести освоение водного пространства. Освоение океана повлекло множество технических проблем. Одной из них являлась невозможность заглянуть в глубины океана, узнать особенности дна, наличие и особенности ...

Галерея

Tехнологии прошлого

Раскрытие содержания и конкретизация понятий должны опираться на ту или иную конкретную модель взаимной связи понятий. Модель, объективно отражая определенную сторону связи, имеет границы применимости, за пределами которых ее использование ведет к ложным выводам, но в границах своей применимости она должна обладать не только образностью.

Tехнологии будущего

В связи с развитием теплотехники ученые в прошлом веке пришли к простому, но удивительному закону, потрясшему человечество. Это закон (иногда его называют принцип) возрастания энтропии (хаоса) во Вселенной. technologyside@gmail.com
+7 648 434-5512