Многообразие проявлений причинно-следственных связей в материальном мире обусловило существование нескольких моделей причинно-следственных отношений. Исторически сложилось так, что любая модель этих отношений может быть сведена к одному из двух основных типов моделей или их сочетанию.

Электростатическое взаимодействие точечных зарядов

Ниже представлены формулами (2) и (3): расстояния R1 и R2 от зарядов Q1 и Q2 до точки наблюдения P(X, Y); напряжённости E1 и E2, потенциалы φ1, φ2 поля, создаваемые каждым из зарядов в точке наблюдения; объёмная плотность энергии поля W(X, Y), а также полные значения напряжённости E и потенциала φ в той же точке P(X, Y). Здесь же дано выражение для cosα, косинуса угла между векторами E1 и E2. Некоторые величины показаны на рис. 1.

R1 = (X2 + Y2)1/2, E1 = Q1/4πε0R12, φ1 = Q1/4πε0R1;

R2 = [(1 – X)2 + Y2]1/2, E2 = Q2/4πε0R22, φ2 = Q2/4πε0R2;

cosα = (R12 + R22 – R02)/2R1R2, E = E1 + E2, φ = φ1 + φ2; (2)

W(X,Y) = (ε0/2)E2 = (ε0/2)(E1 + E2)2 = (ε0/2)(E12 + E22 + 2E1E2 cosα) =

= (1/32π2ε0)[(Q1/R12)2 + (Q2/R22)2 + Q1Q2(R12 + R22 – R02)/R13R23]. (3)

Вывод формулы для W(X, Y) в самом общем случае, включающем неоднородное поле, можно посмотреть, например, в работах [1, 9]. В основе этих доказательств лежит применение к векторному полю φ∙gradφ формулы Остроградского – Гаусса, связывающей объёмный и поверхностный интегралы по всему указанному полю,

∫S φ∙gradφdS = ∫V div(φ∙gradφ)dV. (4)

На больших расстояниях от зарядов потенциал поля обращается в нуль и, если здесь провести граничную (замкнутую) поверхность, то обратится в нуль также и интеграл по этой поверхности. Таким образом, остаётся объёмный интеграл от дивергенции векторного поля. Приравняв его нулю, и, учитывая, что

div(φ∙gradφ) = (gradφ)2 + φ∙div∙gradφ,

E = –gradφ,

div gradφ = –ρ/ε0, (5)

где ρ – объёмная плотность зарядов, получаем вместо (4),

∫V (E2 – φρ/ε0)dV = 0. (4а)

Все величины, входящие в (4а) относятся к одной и той же точке P(X, Y). Но равенство (4а) выполняется не только при равенстве нулю подынтегрального выражения. Более общее выражение имеет вид,

∫V (ε0/2)E2dV = ∫V (1/2)φρdV. (6)

Слева имеем объёмный интеграл от выражения (3), а справа – полную энергию электростатического поля системы зарядов. Поэтому интеграл в левой части (6) можно также рассматривать, как полную энергию системы. Каждое из подынтегральных выражений (6) представляет собой объёмную плотность энергии поля, что и доказывает справедливость формулы (3). Так как названные плотности выражают одно и то же, то, в принципе, они должны быть одинаковы. Однако, из-за разделения понятий «заряд» и «поле» этого не происходит. Выбирая левую часть, мы подсчитываем энергию, распределённую в электростатическом поле, пользуясь понятием напряжённости поля, выбирая правую часть, – определяем работу, необходимую для воссоздания тех же полей вокруг зарядов. В том и другом случае речь идёт об энергии поля, и о размещении этой энергии именно в самом поле.

При использовании в равенстве (4) вместо векторного поля φ∙gradφ, поле E = –gradφ, взаимодействие зарядов выпадает из рассмотрения,

∫S gradφ∙dS = ∫V div gradφ∙dV. (7)

С учётом (5) приходим к теореме Гаусса в интегральной форме,

∫S EdS = ∫V (1/ε0)ρdV. (8)

Правая часть (8) (без (1/ε0)) даёт суммарный заряд в выделенном объёме, а левая часть (8) – суммарный поток напряжённости поля (5) через замкнутую поверхность, окружающую этот объём. При изменениях размеров, формы поверхности и конфигурации зарядов внутри выделенного объёма, поток, как и суммарный заряд, остаются неизменными. В формуле (8) присутствуют только собственные поля зарядов, только они жестко связаны с зарядами и не зависят от взаимодействия зарядов.

Возвратимся к формуле (6), и вычислим энергию поля системы с помощью интеграла в правой части (6). Для точечных зарядов плотность ρ не равна нулю лишь в тех местах ((0, 0) ≡ 1 и (R0, 0) ≡ 2), где находятся заряды. Обозначим φ1(1) и φ2(2); φ2(1) и φ1(2) – потенциалы: собственный от Q1 в месте расположения Q1 и аналогично для Q2; создаваемый зарядом Q2 в месте расположения Q1 и создаваемый зарядом Q1 в месте расположения Q2, соответственно. Все они являются постоянными величинами, и могут быть вынесены за знак интеграла. Записывая ρ с помощью дельта-функций (запись символическая),

ρ = ρ1 + ρ2 = Q1δ(1) + Q2δ(2), (9)

и учитывая, что потенциал в любой точке поля равен φ = φ1 + φ2, находим значение интеграла в виде суммы четырёх слагаемых,

Перейти на страницу: 1 2 3 4 5 6

Немного больше о технологиях >>>

В поисках инерцоида
Многие века люди относились к массивным телам как своеобразным складам движения – сколько в них вложишь, столько и вернешь. Но вот родилась дерзкая надежда превратить склады в источники: нельзя ли так пошевелить грузами на тележке, чтобы та поехала сама собой, за счет внутренни ...

Обработка резанием
Обработка резанием является универсальным методом размерной обработки. Метод позволяет обрабатывать поверхности деталей различной формы и размеров с высокой точностью из наиболее используемых конструкционных материалов. Он обладает малой энергоемкостью и высокой производительно ...

Галерея

Tехнологии прошлого

Раскрытие содержания и конкретизация понятий должны опираться на ту или иную конкретную модель взаимной связи понятий. Модель, объективно отражая определенную сторону связи, имеет границы применимости, за пределами которых ее использование ведет к ложным выводам, но в границах своей применимости она должна обладать не только образностью.

Tехнологии будущего

В связи с развитием теплотехники ученые в прошлом веке пришли к простому, но удивительному закону, потрясшему человечество. Это закон (иногда его называют принцип) возрастания энтропии (хаоса) во Вселенной. technologyside@gmail.com
+7 648 434-5512