Электростатическое взаимодействие точечных зарядов
Ниже представлены формулами (2) и (3): расстояния R1 и R2 от зарядов Q1 и Q2 до точки наблюдения P(X, Y); напряжённости E1 и E2, потенциалы φ1, φ2 поля, создаваемые каждым из зарядов в точке наблюдения; объёмная плотность энергии поля W(X, Y), а также полные значения напряжённости E и потенциала φ в той же точке P(X, Y). Здесь же дано выражение для cosα, косинуса угла между векторами E1 и E2. Некоторые величины показаны на рис. 1.
R1 = (X2 + Y2)1/2, E1 = Q1/4πε0R12, φ1 = Q1/4πε0R1;
R2 = [(1 – X)2 + Y2]1/2, E2 = Q2/4πε0R22, φ2 = Q2/4πε0R2;
cosα = (R12 + R22 – R02)/2R1R2, E = E1 + E2, φ = φ1 + φ2; (2)
W(X,Y) = (ε0/2)E2 = (ε0/2)(E1 + E2)2 = (ε0/2)(E12 + E22 + 2E1E2 cosα) =
= (1/32π2ε0)[(Q1/R12)2 + (Q2/R22)2 + Q1Q2(R12 + R22 – R02)/R13R23]. (3)
Вывод формулы для W(X, Y) в самом общем случае, включающем неоднородное поле, можно посмотреть, например, в работах [1, 9]. В основе этих доказательств лежит применение к векторному полю φ∙gradφ формулы Остроградского – Гаусса, связывающей объёмный и поверхностный интегралы по всему указанному полю,
∫S φ∙gradφdS = ∫V div(φ∙gradφ)dV. (4)
На больших расстояниях от зарядов потенциал поля обращается в нуль и, если здесь провести граничную (замкнутую) поверхность, то обратится в нуль также и интеграл по этой поверхности. Таким образом, остаётся объёмный интеграл от дивергенции векторного поля. Приравняв его нулю, и, учитывая, что
div(φ∙gradφ) = (gradφ)2 + φ∙div∙gradφ,
E = –gradφ,
div gradφ = –ρ/ε0, (5)
где ρ – объёмная плотность зарядов, получаем вместо (4),
∫V (E2 – φρ/ε0)dV = 0. (4а)
Все величины, входящие в (4а) относятся к одной и той же точке P(X, Y). Но равенство (4а) выполняется не только при равенстве нулю подынтегрального выражения. Более общее выражение имеет вид,
∫V (ε0/2)E2dV = ∫V (1/2)φρdV. (6)
Слева имеем объёмный интеграл от выражения (3), а справа – полную энергию электростатического поля системы зарядов. Поэтому интеграл в левой части (6) можно также рассматривать, как полную энергию системы. Каждое из подынтегральных выражений (6) представляет собой объёмную плотность энергии поля, что и доказывает справедливость формулы (3). Так как названные плотности выражают одно и то же, то, в принципе, они должны быть одинаковы. Однако, из-за разделения понятий «заряд» и «поле» этого не происходит. Выбирая левую часть, мы подсчитываем энергию, распределённую в электростатическом поле, пользуясь понятием напряжённости поля, выбирая правую часть, – определяем работу, необходимую для воссоздания тех же полей вокруг зарядов. В том и другом случае речь идёт об энергии поля, и о размещении этой энергии именно в самом поле.
При использовании в равенстве (4) вместо векторного поля φ∙gradφ, поле E = –gradφ, взаимодействие зарядов выпадает из рассмотрения,
∫S gradφ∙dS = ∫V div gradφ∙dV. (7)
С учётом (5) приходим к теореме Гаусса в интегральной форме,
∫S EdS = ∫V (1/ε0)ρdV. (8)
Правая часть (8) (без (1/ε0)) даёт суммарный заряд в выделенном объёме, а левая часть (8) – суммарный поток напряжённости поля (5) через замкнутую поверхность, окружающую этот объём. При изменениях размеров, формы поверхности и конфигурации зарядов внутри выделенного объёма, поток, как и суммарный заряд, остаются неизменными. В формуле (8) присутствуют только собственные поля зарядов, только они жестко связаны с зарядами и не зависят от взаимодействия зарядов.
Возвратимся к формуле (6), и вычислим энергию поля системы с помощью интеграла в правой части (6). Для точечных зарядов плотность ρ не равна нулю лишь в тех местах ((0, 0) ≡ 1 и (R0, 0) ≡ 2), где находятся заряды. Обозначим φ1(1) и φ2(2); φ2(1) и φ1(2) – потенциалы: собственный от Q1 в месте расположения Q1 и аналогично для Q2; создаваемый зарядом Q2 в месте расположения Q1 и создаваемый зарядом Q1 в месте расположения Q2, соответственно. Все они являются постоянными величинами, и могут быть вынесены за знак интеграла. Записывая ρ с помощью дельта-функций (запись символическая),
ρ = ρ1 + ρ2 = Q1δ(1) + Q2δ(2), (9)
и учитывая, что потенциал в любой точке поля равен φ = φ1 + φ2, находим значение интеграла в виде суммы четырёх слагаемых,
Немного больше о технологиях >>>
О побочном событии в лабораторном эксперименте
В
исследовании частных приложений теории относительности экспериментальная физика
значительно опережает теоретическую, которой все чаще приходится объяснять
причины расхождения своих предсказаний с результатами практического опыта.
Такое
взаимоотношение теории и эксперимента ...
Стратегия «золотой середины»
Выработанная
веками народная мудрость, правило поведения или закон природы? Ниже я
постараюсь показать, что это такой же универсальный закон природы как, скажем,
закон всемирного тяготения.
Понятие
золотой середины далеко не ново. О нем писали еще Конфуций (551...479 до н.э. ...
