Метод расчета скейлинговых констант Фейгенбаума для одномерных дискретных отображений по точкам сверхустойчивых циклов
Сказку о том, как Фейгенбаум сидел в тени деревьев и вычислял их на своём калькуляторе HP-65 с золотистыми кнопочками вы, наверное, слышали. Это был первый программируемый калькулятор и стоил ни много ни мало аж 400 (четыреста!) долларов. Наивно полагать, что своё удивительное открытие Фейгенбаум сделал, пользуясь исключительно калькулятором: все-таки в то время он работал в Лос-Аламосе, а у военных всегда были и будут самые мощные компьютеры в мире, однако открытие действительно было чудесным - какие бы унимодальные отображения мы не рассматривали, скейлинг для них (т.е. "волшебные" числа и
) будет тем же самым.
Алгоритм
Интересно, что точки также можно использовать для расчета
, этим факт мы и будем использовать в дальнейшем. Обратим внимание, что в точках
мультипликатор
всегда равен нулю, что автоматически означает устойчивость этих циклов:
(a) |
Например, для цикла периода два: | |
| ||
| ||
|
(5.1) |
(б) |
Цикл периода четыре: | |
| ||
| ||
|
(5.2) |
Для произвольных же -циклов справедливо выражение:
|
(6) |
Уравнение (5.3) легко решается относительно параметра , например, с помощью метода последовательных итераций Ньютона:
|
(6.1) |
Здесь i - номер итерации. Таким образом, весь процесс вычисления, скажем, константы сводится к нахождению таких значений параметра R, при которых бифуркационная диаграмма пересекает линию
. Для этого необходимо решить уравнение (6), проитерировав его
раз.
Немного больше о технологиях >>>
О выборе рациональных размеров сегнетоэлектрического рабочего тела импульсного генератора напряжения
В
статье рассматривается генератор электрического напряжения, преобразующий
энергию механического удара в электрическую энергию. Основным элементом
рассматриваемого генератора является сегнетоэлектрическое рабочее тело, по
которому в процессе функционирования генератора движетс ...
Судьба термоядерного синтеза
Идея
создания термоядерного реактора зародилась в 1950-х годах. Тогда от нее было
решено отказаться, поскольку ученые были не в состоянии решить множество
технических проблем. Прошло несколько десятилетий прежде, чем ученым удалось
«заставить» реактор произвести хоть сколько-ни ...