Метод расчета скейлинговых констант Фейгенбаума для одномерных дискретных отображений по точкам сверхустойчивых циклов
Напомню для начала некоторые факты из теории универсальности Митчелла Фейгенбаума. Будем называть непрерывное отображение отрезка в себя унимодальным, если внутри отрезка имеется точка экстремума и по обе стороны от неё отображение является строго монотонным (с одной из сторон возрастающим, с другой убывающим). Условимся далее рассматривать только унимодальные отображения вида
|
(1) |
Если последовательность {} при данном r состоит из n точек, такую последовательность будем называть n-циклом, что =f( ), =f( ), …, =f( ) или . Заметим, что производная порядка n функции (n раз вычисленной функции f(x)) в точке x по правилу дифференцирования сложной функции равна .
Точки цикла, удовлетворяющие соотношению
|
(2) |
называются неподвижными.
Величина (так называемый мультипликатор) определяет устойчивость n-цикла и её принято называть устойчивостью (stability, [2], p.121). n-цикл называется устойчивым, если <1.
n-цикл, содержащий в качестве одной из своих точек, называются сверхустойчивым. Для такого цикла =0.
Как было продемонстрировано в 1978 году М.Фейгенбаумом [4], значения параметра , при которых число устойчивых периодических точек удваивается и становится равным , удовлетворяют масштабному соотношению, или как говорят имеют скейлинг:
|
(3) |
Данное соотношение встречается также и в следующей записи:
,n>>1 ([1], стр. 49), |
(3.1) |
Рис.1 |
Или в таком виде:
Расстояния от точки , где - точка экстремума рассматриваемого отображения (на рис 1. x=1/2), до ближайшей к ней точки на - цикле подчиняются следующему соотношению:
Константы Фейгенбаума имеют значения , и являются ни много ни мало мировыми транцедентными числами, такими как или e. |
Немного больше о технологиях >>>
Новый подход к методам химической очистки призабойной зоны ствола скважины при заканчивании открытым стволом
В скважинах, где традиционные методы их
заканчивания непригодны по геолого-техническим и экономическим соображениям, в
последние годы все больше используются современные системы заканчивания скважин
открытым стволом. Проведенный авторами анализ применимости таких систем имеет
н ...
Электрические цепи с бинарными потенциалами
Рассматриваются
электрические цепи c линейными элементами и диодами, не содержащие
транзисторов. Все потенциалы в этих цепях принимают только два значения.
Анализируются требования, которым должны удовлетворять такие цепи.
Устанавливается соответствие между такими цепями и схем ...