Многообразие проявлений причинно-следственных связей в материальном мире обусловило существование нескольких моделей причинно-следственных отношений. Исторически сложилось так, что любая модель этих отношений может быть сведена к одному из двух основных типов моделей или их сочетанию.

Определение размерности Хаусдорфа фракталов с циклически повторяющимися структурами

Классически, в литературе описание фракталов начинается с примера триадной кривой Гельгона фон Коха. Эта кривая строится итеративно. Построение начинается с прямолинейного отрезка единичной длины. На первом шаге исходный отрезок заменяется четырьмя длиной каждый в 1/3 от длины исходного. Далее, операция повторяется с каждым вновь полученным отрезком. Таким образом, получают кривую Коха разной детальности в зависимости от числа итераций. Когда число итераций устремляется к бесконечности () получаем предельную кривую (рис. 1).

Легко видеть, что длина триадной кривой Коха определяется формулой и стремится к бесконечности. Соответственно, размерность Хаусдорфа данного фрактального образования определяется соотношением: ( - число элементов, - относительный размер элементов).

Для построения кривой Коха, используется только одна структура. К сожалению, такие фракталы в природе редко встречаются. Чаще всего, в построении фракталов участвуют несколько структур, состоящих из различного числа элементов. Причем, размеры элементов структур также различны.

Рассмотрим небольшой пример. Пусть элементы кривой (это, конечно, будет уже не кривая Коха) на первой итерации делятся на три элемента, на второй на четыре, в третьем на пять, в четвертом снова на три и так далее изменясь циклически. А правило определяющее размер элементов остается тем же, что и для кривой Коха.

Тогда, в самом начале процесса длина кривой определяется как; где: - число элементов, - длина элемента. На первом шаге (n=1) длина кривой и её форма не меняются, (,).

Запишем число элементов кривой и длины элементов для следующих нескольких итераций. Так при:

n=2, , n=3, ,

n=4, , n=5, ,

n=6, ,

и соответственно для:n, ,.

Итак, длина кривой будет равна. Выражая n через длину элемента () и применяя прямую и обратную операции логарифмирования имеем:

.

Рис.2. Влияние на размерность Хаусдорфа числа структур с различным

количеством элементов (l = 1/10). В точке n = 1 k = 11.

Откуда фрактальная размерность. По сравнению с кривой Коха у вновь полученной кривой размерность Хаусдорфа меньше, но длина ее все еще не конечна. Обобщая полученный результат, на произвольное число структур, формула для определения размерность Хаусдорфа при циклическом структуроформирующем правиле примет вид:

,

Перейти на страницу: 1 2

Немного больше о технологиях >>>

Новый подход к методам химической очистки призабойной зоны ствола скважины при заканчивании открытым стволом
В скважинах, где традиционные методы их заканчивания непригодны по геолого-техническим и экономическим соображениям, в последние годы все больше используются современные системы заканчивания скважин открытым стволом. Проведенный авторами анализ применимости таких систем имеет н ...

Ламинарное и турбулентное течение вязкой жидкости
Вязкость. Коэффициент вязкости. Слоистое движение жидкости, возникающее при сильном влиянии трения. Воздействие статического давления на твердые тела, находящиеся в поле течения. Вязкий поток. Число Рейнольдса. ...

Галерея

Tехнологии прошлого

Раскрытие содержания и конкретизация понятий должны опираться на ту или иную конкретную модель взаимной связи понятий. Модель, объективно отражая определенную сторону связи, имеет границы применимости, за пределами которых ее использование ведет к ложным выводам, но в границах своей применимости она должна обладать не только образностью.

Tехнологии будущего

В связи с развитием теплотехники ученые в прошлом веке пришли к простому, но удивительному закону, потрясшему человечество. Это закон (иногда его называют принцип) возрастания энтропии (хаоса) во Вселенной. technologyside@gmail.com
+7 648 434-5512