Континуально многозначные функции
В последнее время негладкие, разрывные и сингулярные функции стали привлекать внимание [3-5]. Построен пример непрерывно дифференцируемой разрывной функции на пространстве D - бесконечно дифференцируемых финитных функций [4]. При решении вариационных задач экстремалями иногда оказываются негладкие, т.н. разрывные или сингулярные функции [3, 5]. Однако понятие разрывности функций в точках разрыва) не всегда соответствует физическим и математическим объектам - непрерывным кривым, которые они фактически описывают.
Рассмотрим кривую - прямоугольный импульс (рис. 1), определенный и непрерывный на всей оси абсцисс. Подобные объекты можно представить не только математически: например, так можно представить разложенную на плоской поверхности веревку. Но если про прямую b мы говорим, что она существует, и пишем 
при
, то про точки x=0 и x=1 говорится, что в них функция терпит разрыв первого рода, а прямых a и c как бы нет, хотя веревка физических разрывов не имеет.
Рис.1. Непрерывная кривая - прямоугольный импульс
По-видимому, объясняется это тем, что рассмотрения многозначных функций традиционно стараются избегать. В нашем же случае точкам x=0 и x=1 соответствуют замкнутые отрезки [0,1], параллельные оси ординат, т.е. одной точке на оси абсцисс соответствует множество точек на оси ординат, имеющее мощность континуума. Получается не просто многозначность, а многозначность мощности континуума.
Рассмотрим характерный пример - первую введенную в физике разрывную функцию - функцию Хевисайда, которая определяется [6-8] как предел последовательностей непрерывных функций, имеющих все производные. Поэтому график предельной функции вроде бы должен быть непрерывным. Этому противоречит определение функции Хевисайда, данное, например, в монографиях [6-8],
(1.1)
Введем уточненное определение функции включения, соответствующее предельному переходу в эквивалентных последовательностях [6] непрерывных функций, имеющее непрерывный график,
(1.2)
Если функцию включения (1.2) можно представить в виде непрерывной веревки, разложенной на плоской поверхности, то функция Хевисайда представляется той же веревкой, из которой вырезан кусок (сегмент [0,1]) в точке x=0. Обе функции имеют равные односторонние пределы, но разные графики при x=0 и вытекающие из этого свойства.
На первый взгляд, определение (1.2) непривычное, но фактически оно не новое. Когда говорят о значении определенного интеграла от положительной подынтегральной функции, то имеют в виду, что он "равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком подынтегральной функции, осью абсцисс и прямыми, параллельными оси ординат, построенными на концах отрезка интегрирования" [8].
Поскольку определенный интеграл в конечных пределах от a до b всегда можно выразить с помощью сдвинутых функций включения H(x) через интеграл с бесконечными пределами
(1.3)
Немного больше о технологиях >>>
Механика. Античность и эллинский период
Исторический экскурс в прошлое физики, вне
всякого сомнения, позволяет лучше понять логику формирования и развития этой
науки, приведшую к современному ее состоянию. Нам представляется, что понимание
причины возникновения физики, ее изначальных целей, знакомство с этапами ее
ра ...
История развития искусственного интеллекта
Раньше
с понятием искусственного интеллекта (ИИ) связывали надежды на создание
мыслящей машины, способной соперничать с человеческим мозгом и, возможно,
превзойти его. Эти надежды, на долгое время захватившие воображение многих
энтузиастов, так и остались несбывшимися. И хотя ф ...
