Волновое уравнение не имеет единственного решения
Теорема о нарушении единственности решения
Теорему о существовании и единственности решения задачи Коши можно найти в [1] (стр.44 .46). Логика доказательства приводит к однородному волновому уравнению (77) (см. стр.45 в [1]), решение которого должно удовлетворять нулевым начальным и граничным условиям (стр.45 в [1]). Далее идет доказательство, что решение этого уравнения тривиальное и на основании этого делается заключение о единственности решения задачи Коши для волнового уравнения.
Оказывается, существует множество решений задачи Коши для волнового уравнения. Мы приведем доказательство для свободного пространства (одномерный случай). Это продиктовано следующими соображениями. Во-первых, доказательство не будет перегружено дополнительными деталями. Во вторых, доказательство этого случая не нарушает общности рассуждений и его нетрудно обобщить на случай наличия граничных условий. В третьих, нас интересуют процессы в свободном пространстве (излучение и распространение волн в электродинамике), к которым это доказательство имеет прямое отношение.
Доказательство
Рассмотрим однородное волновое уравнение в безграничном одномерном пространстве с нулевыми начальными условиями.
|
|
(1) |
Начальные условия: v = 0 и ∂v/∂t = 0 при t = 0.
Представим теперь функцию v как сумму некоторых двух функций:
|
v = u + f |
(2) |
Подставим это выражение в (1) и перенесем члены, зависящие от f в правую часть уравнения (1).
|
|
(3) |
Мы можем выбрать и присвоить функции f определенное выражение. Пусть, например,
f = (cosπx·sinat)4, когда –1 < x < 1 и 0 < t < π/a;
f = 0 если x < –1 или x > 1 и t > π/a или t < 0.
Функция ограничена f в пространстве и во времени. В этом случае уравнение (3) превращается в неоднородное волновое уравнение, правая часть которого нам известна. Теперь мы можем сформулировать начальные условия для функции u.
Начальные условия:
|
u = – f(x;0) и ∂u/∂t = – ∂f / ∂t при t = 0 |
(4) |
Решение уравнения (3) с начальными условиями (4) существует (см., например, [1], стр.75, выражение (24)). Следовательно, мы имеем окончательный результат – новое, нетривиальное решение однородного волнового уравнения с нулевыми начальными условиями. Запишем общее ненулевое решение однородного волнового уравнения, удовлетворяющего задаче Коши с нулевыми начальными условиями:
|
|
(5) |
, где
.
Функция f не должна быть решением волнового уравнения.
Мы видим, что второе решение существует и отлично от нуля при t>0. Таким образом, теорема о нарушении единственности решения задачи Коши для волнового уравнения доказана.
Немного больше о технологиях >>>
Проблемы квазистатической электродинамики
В
работах [1], [2] мы показали, что условием выполнения градиентной
инвариантности (эквивалентность калибровки Лоренца и кулоновской калибровки)
является жесткое ограничение на источники полей в уравнениях Максвелла. Заряды
и токи в этих уравнениях должны перемещаться со скорос ...
Каталитический этюд
Современное учение о катализе можно
уподобить гигантскому живописному полотну, на котором с большого расстояния
различимы два частично пересекающихся сюжета. Первый включает процессы, с
помощью которых химики стремятся производить то, что давно умела делать
природа. Речь идет в ...
