Волновое уравнение не имеет единственного решения
Теорема о нарушении единственности решения
Теорему о существовании и единственности решения задачи Коши можно найти в [1] (стр.44 .46). Логика доказательства приводит к однородному волновому уравнению (77) (см. стр.45 в [1]), решение которого должно удовлетворять нулевым начальным и граничным условиям (стр.45 в [1]). Далее идет доказательство, что решение этого уравнения тривиальное и на основании этого делается заключение о единственности решения задачи Коши для волнового уравнения.
Оказывается, существует множество решений задачи Коши для волнового уравнения. Мы приведем доказательство для свободного пространства (одномерный случай). Это продиктовано следующими соображениями. Во-первых, доказательство не будет перегружено дополнительными деталями. Во вторых, доказательство этого случая не нарушает общности рассуждений и его нетрудно обобщить на случай наличия граничных условий. В третьих, нас интересуют процессы в свободном пространстве (излучение и распространение волн в электродинамике), к которым это доказательство имеет прямое отношение.
Доказательство
Рассмотрим однородное волновое уравнение в безграничном одномерном пространстве с нулевыми начальными условиями.
|
|
(1) |
Начальные условия: v = 0 и ∂v/∂t = 0 при t = 0.
Представим теперь функцию v как сумму некоторых двух функций:
|
v = u + f |
(2) |
Подставим это выражение в (1) и перенесем члены, зависящие от f в правую часть уравнения (1).
|
|
(3) |
Мы можем выбрать и присвоить функции f определенное выражение. Пусть, например,
f = (cosπx·sinat)4, когда –1 < x < 1 и 0 < t < π/a;
f = 0 если x < –1 или x > 1 и t > π/a или t < 0.
Функция ограничена f в пространстве и во времени. В этом случае уравнение (3) превращается в неоднородное волновое уравнение, правая часть которого нам известна. Теперь мы можем сформулировать начальные условия для функции u.
Начальные условия:
|
u = – f(x;0) и ∂u/∂t = – ∂f / ∂t при t = 0 |
(4) |
Решение уравнения (3) с начальными условиями (4) существует (см., например, [1], стр.75, выражение (24)). Следовательно, мы имеем окончательный результат – новое, нетривиальное решение однородного волнового уравнения с нулевыми начальными условиями. Запишем общее ненулевое решение однородного волнового уравнения, удовлетворяющего задаче Коши с нулевыми начальными условиями:
|
|
(5) |
, где
.
Функция f не должна быть решением волнового уравнения.
Мы видим, что второе решение существует и отлично от нуля при t>0. Таким образом, теорема о нарушении единственности решения задачи Коши для волнового уравнения доказана.
Немного больше о технологиях >>>
Применение световода на уроках физики
Школьник понимает физический опыт только
тогда хорошо, когда он его делает сам. Но еще лучше он понимает его, если сам
делает прибор для эксперимента.
П.Л.Капица
Физический эксперимент... Постановка его на
уроке позволяет учителю не только подробно рассмотреть физические я ...
Разработка интегрированного стартер-генератора на основе вентильно-индукторной машины
Рассматриваются
принципы работы стартер-генераторного устройства автономного объекта на базе
вентильно-индукторной машины. Проведено исследование режимов работы
вентильно-индукторного стартер-генератора на основе математического
моделирования. Предложено решение проблем расшире ...
