Многообразие проявлений причинно-следственных связей в материальном мире обусловило существование нескольких моделей причинно-следственных отношений. Исторически сложилось так, что любая модель этих отношений может быть сведена к одному из двух основных типов моделей или их сочетанию.

Апология Бесконечности

Действительно, возьмем и запишем все числа n счетного множества N в обычной двоичной системе счисления: "0"= .000, "1"= .001, "2"= .010, ., "n"= .rl .r2r1r0(rl=0,1; l=0,1,2, .,L, l – номера двоичных разрядов) и т.д. очевидно, что для записи всех чисел требуется некоторое количество L двоичных разрядов. Заведомо известно, что оно меньше бесконечного количества ω самих чисел n счетного множества N. Да это легко и доказывается – как с использованием теоремы Кантора 2ω>ω, так и без нее. Если не использовать теорему Кантора, то надо заметить, что поскольку все числа счетного множества являются конечными, то и количество L двоичных разрядов для их записи является конечным. Но в таком случае, как известно из арифметики, количество чисел, которое может быть записано с помощью конечного числа L разрядов, равно 2L. Поскольку L конечное, то и 2L является конечным числом. Но это противоречит тому, что количество всех конечных чисел счетного множества согласно определению является бесконечным. При использовании теоремы Кантора надо заметить то, что двоичные разряды rl представляют собой множество L, а все его подмножества – это не что иное как все конечные числа N. Количество же подмножеств множества L равно 2L, которое есть также бесконечное число ω, то есть 2L=ω, откуда непосредственно следует, что L должно быть бесконечным. По теореме же Кантора ω=2L>L, то есть L<ω, что по определению счетного множества значит, что L является конечным и принадлежит счетному множеству, то есть. Таким образом, получаем противоречие: из 2L=ω следует, что L является бесконечным, а из L<ω – что L является конечным. Это – с одной стороны. С другой стороны можно доказать, что счетное множество должно содержать бесконечные числа. Подобно тому, как начальная бесконечность ω есть предел, так и количество разрядов L можно определить как предел, который равен бесконечности, поскольку функция L(n) является монотонно возрастающей. Обозначив этот предел некоторым бесконечным числом w и учтя, что w<ω, придем к выводу, что счетное множество содержит и бесконечное число w<ω, что естественно находится в противоречии с определением счетного множества как множества, состоящего только из конечных чисел.

Следовательно, счетное множество является либо конечным и тогда никаких связанных с ним противоречий не существует, либо оно является бесконечным множеством, содержащим как конечные числа, так и бесконечные, например, число w. Но поскольку мы не знаем – как из сколь угодно большого конечного числа n с помощью операции n+1 может явиться нам бесконечное число ω, то надо признать, что счетное множество N является конечным.

Из всего только что сказанного мы делаем два фундаментальных вывода. Первый вывод: счетное множество N=0,1,2, .,n, . современной стандартной математики является конечным множеством, мощность которого равна предельному числу N, не являющимся бесконечным и которое можно называть наибольшим конечным числом по аналогии с тем, как называли его наименьшим бесконечным числом. Второй вывод: наименьшего бесконечного множества не существует и не существует его в том смысле, что для любого бесконечного множества ω существует субстрат-множество w (множество двоичных разрядов), мощность которого w является строго меньшей мощности ω исходного множества. Другими словами, наряду с известным утверждением теории множеств о том, что "не существует наибольшего бесконечного множества", имеет место и утверждение о том, что "не существует и наименьшего бесконечного множества". Все эти проблемы детально изучены в книге [11].

Само собой разумеется, что предельным множеством для всех конечных множеств n является счетное множество N всех натуральных чисел n и оно есть конечное множество. Для бесконечных кардинальных чисел wp существует два предельных кардинала: ω+ – наибольший предельный кардинал, к которому стремятся большие кардиналы ω1,ω2,ω3, ., и ω- – наименьший предельный кардинал, к которому стремятся малые кардиналы ω-1,ω-2,ω-3, . . Все кардиналы, в том числе и конечные кардиналы nk, связаны между собой не только известным теоретико-множественным отношением "множество всех подмножеств 2M множества M", но и обратным этому отношению информационно-субстратным отношением IS=log2M (частным случаем которого является множество двоичных разрядов для представления того или иного множества чисел {0,1,2, .}). При этом бесконечный кардинал ω0=ω является мощностью начального бесконечного множества.

Таким образом, вместо двух противоречивых оснований теории бесконечных множеств "часть может быть равна целому" и "счетное множество есть начальное бесконечное множество" выдвинуты и используются следующие концептуальные положения:

Перейти на страницу: 1 2 3 4 5 6 7

Немного больше о технологиях >>>

Молекулы-русалки
Эта история начинается с одного из многочисленных увлечений Бенджамина Франклина, выдающегося американского ученого и респектабельного дипломата. Будучи в 1774 году в Европе, где он улаживал очередной конфликт между Англией и Североамериканскими Штатами, Франклин в свободное вр ...

Электрические цепи с нелинейными преобразователями и оперативная коррекция режима энергосистемы
Рассматриваются электрические цепи с нелинейными преобразователями. Показывается, что в такимх цепях достигается оптимум некоторой выпуклой функции токов электрической цепи. Далее рассматривается задача оперативной коррекции режима энергосистемы и формулируется критерий качества ...

Галерея

Tехнологии прошлого

Раскрытие содержания и конкретизация понятий должны опираться на ту или иную конкретную модель взаимной связи понятий. Модель, объективно отражая определенную сторону связи, имеет границы применимости, за пределами которых ее использование ведет к ложным выводам, но в границах своей применимости она должна обладать не только образностью.

Tехнологии будущего

В связи с развитием теплотехники ученые в прошлом веке пришли к простому, но удивительному закону, потрясшему человечество. Это закон (иногда его называют принцип) возрастания энтропии (хаоса) во Вселенной. technologyside@gmail.com
+7 648 434-5512