Ориентационная энергия спиновых систем
Вывод о существовании ориентационной составляющей энергии выглядел бы достаточно банальным, если бы он относился только к известным силовым полям. Значительно интереснее показать, что эта составляющая энергии присуща и вращающимся телам независимо от наличия у них упомянутых выше форм энергии. С этой целью рассмотрим систему вращающихся тел с несферической симметрией (уравновешенный волчок или гироскоп – центр тяжести которого совпадает с центром подвеса). Предположим, что момент количества движения любого k-го тела такой системы Lk по каким-либо причинам не совпадает с собственной осью его вращения, так что оно помимо вращения вокруг собственной оси с постоянной угловой скоростью Ωk испытывает регулярную прецессию с угловой скоростью ωk относительно направления вектора момента его количества движения Lk (рис.1).
Рис. 1.
Воспользовавшись произвольностью выбора осей координат, совместим вслед за [2] ось x с осью симметрии волчка, а ось y – с плоскостью, образованной векторами Lk и Ωk, как это показано на рисунке. Тогда угловая скорость вращения волчка вокруг собственной оси Ωk = |Ωk| и угловая скорость его прецессии ωk=|ωk| определятся соотношением [2]:
Ωk = Lkcosφ/Ix; ωk = Lk/Iy, (6)
где Lk = |Lk|; Ix, Iy – моменты инерции волчка относительно осей x и y; φ – угол, образованный векторами Lk и Ωk.
Этим угловым скоростям соответствуют кинетические энергии собственного Ekc и прецессионного Ekп вращения, равные:
Ekc = Lk2 cos2φ/2Ix; Ekп = Lk2/2Iy. (7)
Таким образом, суммарная кинетическая энергия рассматриваемого волчка
Ek = Ekc + Ekп = ΔEk = Lk2(cos2φ + Ix/Iy)/2Ix, (8)
является в общем случае функцией не только количества движения Lk, но и угла φ, определяющего ориентацию оси его собственного вращения в пространстве Ek=Ek(Lk,φ).
Сопоставляя Ek(Lk,φ) с величиной Ek0=Lk2/2Ix при том же значении Lk и φ=0, находим:
ΔEk = Ek – Ek0 = Lk2(cos2φ + Ix/Iy – 1)/2Ix = Lk2(Ix/Iy – sin2φ)/2Ix. (9)
Согласно (8), при sinφ<(Ix/Iy)0,5 кинетическая энергия прецессирующего волчка Ek превышает таковую в отсутствие прецессии (при φ=0). Это означает, что для возбуждения прецессионного движения необходимо затратить определенную работу. В условиях замкнутой системы с неизменным суммарным моментом количества движения L0=ΣLk0 это может быть вызвано только превращением в кинетическую потенциальной энергии взаимной ориентации тел U=U(φ). Вычислить эту работу и тем самым найти изменение ориентационной энергии можно из следующих соображений.
Известно, что прецессия волчка или гироскопа (т.е. дополнительное вращение их вокруг оси, не совпадающей с осью собственного вращения) возникает, когда к ним приложен определенный крутящий момент Mk=dLk/dt. Работа dWk=–Mk·dφ, которая затрачивается на отклонение оси гироскопа от его первоначального положения (при φ=0) в условиях Ωk=const и Lk0=IxΩk=const, равна, очевидно, дополнительной кинетической энергии dEkп=ωkdLk, которую приобретает гироскоп в результате прецессии. При этом величина угловой скорости прецессии ωk=|ωk| определяется известным соотношением [4]:
ωk=Mk/IxΩk·sinφ. (9)
Подставляя (9) в выражение dEkп и приравнивая последнее величине dWk, получим:
dLk = Lk0sinφ·dφ, (10)
Интегрируя это выражение в пределах от φ=0 до φ в условиях постоянства Lk, имеем:
(11)
Поскольку при φ=0 прецессия отсутствует, C=1, так что окончательно получаем:
Lk = Lk0(1 – cosφ). (12)
Согласно этому выражению, по мере увеличения угла φ под действием крутящего момента Mk момент количества прецессионного движения Lk также возрастает. Следовательно, с возникновением прецессии у вращающихся тел появляется дополнительная кинетическая энергия внутреннего вращения Eω. Таким образом, кинетическая энергия прецессионного движения Ek(φ) может служить мерой «разориентации» системы вращающихся тел. В этом порядке идей совершенно естественным выглядит тот факт, что прецессия прекращается с исчезновением крутящих моментов Mk. Это соответствует наступлению ориентационного равновесия в системе взаимодействующих тел, т.е. состояния, характеризующегося одинаковой ориентацией осей вращения тел или частиц. При «раскрутке» гироскопов направление Lk у них не изменяется, т.е. ориентационное равновесие не нарушается. Потому-то уравновешенные гироскопы и не изменяют в дальнейшем своей ориентации. Напротив, возникновение прецессии вращающихся тел свидетельствует об отсутствии в системе ориентационного равновесия и о наличии в ней поля крутящих моментов Mk. Источником возмущения при этом может служить, например, относительное движение тел, а в микромире – тепловое движение частиц. Это и объясняет, почему в упомянутых выше экспериментах для достижения спин-спинового равновесия требовались достаточно низкие температуры.
Немного больше о технологиях >>>
Изобретать по правилам
Задавали ли Вы себе когда-нибудь вопрос:
"Бывают ли нетворческие профессии?" Какие? Фрезеровщик на заводе
приделал несколько линз и зеркал к обычному станку. Теперь он, даже не
поворачивая головы, видит все шкалы, не надо "нырять" к нониусам,
терять время, с ...
Обработка резанием
Обработка резанием является универсальным
методом размерной обработки. Метод позволяет обрабатывать поверхности деталей
различной формы и размеров с высокой точностью из наиболее используемых
конструкционных материалов. Он обладает малой энергоемкостью и высокой
производительно ...
